Нелинейный мир

Доклады

Алгебраическое моделирование двумерных переключательных схем

Яшин А.Д.

109652, Москва, ул. Поречная, д.13, корп.1, кв. 129.

Рассматривается двумерная синхронная переключательная схема, имеющая вид двери с круговыми переключателями, имеющими положений и расположенными в виде матрицы размерности . Переключатели связаны между собой таким образом, что при повороте переключателя все переключатели в -й горизонтали и -й вертикали поворачиваются на такое же число делений.

Изначально все переключатели ориентированы беспорядочным образом. Требуется привести все переключатели в одно и то же состояние, при этом дверь откроется. Задача: установить критерий разрешимости, т.е. при каких соотношениях между , и все переключатели можно из произвольной начальной конфигурации перевести в однородную.

Теорема 1. Задача приведения переключателей в однородное состояние разрешима тогда и только тогда, когда число взаимно просто с числами , и .

Для случая квадратной схемы, т.е. при удаётся получить явную форму решения следующим образом. Пусть - квадратная матрица, состоящая из единиц. Рассмотрим линейное преобразование модуля , состоящего из квадратных матриц размерности над кольцом вычетов по модулю , определяемое формулой . Задача приведения схемы в однородное состояние сводится к решению уравнения

(*)

в при произвольной правой части .

Теорема 2а. При и чётном ( ) решение уравнения (*) имеет вид .

При явная форма ответа несколько иная. Пусть и - мультипликативно обратные в кольце к и (существуют в силу критерия разрешимости).

Теорема 2б. Если и взаимно просто с числами и решение уравнения (*) имеет вид , где , , .